福建省福鼎一中高一数学培优教案
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福鼎一中高一年段数学培优教材第一讲 函数的性质
一、 基本性质：
1. 函数图像的对称性
（1） 奇函数与偶函数：奇函数图像关于坐标原点对称，对于任意 ，都有 成立；偶函数的图像关于 轴对称，对于任意 ，都有 成立。
（2） 原函数与其反函数：原函数与其反函数的图像关于直线 对称。 若某一函数与其反函数表示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线 对称。
（3） 若函数满足 ，则 的图像就关于直线 对称；若函数满足 ，则 的图像就关于点 对称。
（4） 互对称知识：函数 的图像关于直线 对称。
2．函数的单调性
函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。判断一个函数的单调性一般采用定义法、导数法或借助其他函数结合单调性的性质（如复合函数的单调性）
特别提示：函数 的图像和单调区间。
3．函数的周期性
对于函数 ，若存在一个非零常数 ，使得当 为定义域中的每一个值时，都有 成立，则称 是周期函数， 称为该函数的一个周期。若在所有的周期中存在一个最小的正数，就称其为最小正周期。
（1） 若 是 的周期，那么 也是它的周期。
（2） 若 是周期为 的函数，则 是周期为 的周期函数。
（3） 若函数 的图像关于直线 对称，则 是周期为 的函数。
（4） 若函数 满足 ，则 是周期为 的函数。
4．高斯函数
对于任意实数 ，我们记不超过 的最大整数为 ，通常称函数 为取整函数。又称高斯函数。又记 ，则函数 称为小数部分函数，它表示的是 的小数部分。
高斯函数的常用性质：
（1） 对任意 （2） 对任意 ，函数 的值域为
（3） 高斯函数是一个不减函数，即对于任意
（4） 若 ，后一个式子表明 是周期为1的函数。
（5） 若 （6） 若
福鼎一中高一年段数学培优教材第六讲 平面向量（2）
例1：（1）点P是 的外心，且 ，则角C的大小为_________________
（2）在 中， ，其中G为 的重心，则 的形状是___
（3）设 的外心为O，H是它的垂心，求证：
（4）已知O为 所在平面内的一点，且满足 ，求证：点O是 的垂心。
（5）O为 所在平面内的一点，则O为 的垂心的充要条件是：
例2：已知向量 ， ， ， ，且 与 之间有关系式： ，其中k＞0． （1）证明： ；（2）试用k表示
例3：已知平面上的三个向量 的模均为 ，它们相互之间的夹角都是 ，
（1） 求证： （2）若 ，求 的取值范围。
例4：已知向量 ，存在实数 ，使得向量 且 ，（1）试将 表示为 得函数 ；（2）求 得最小值。
例5．已知向量 （1）向量 是否共线？
（2）求函数 的最大值。
